Open RegionalとNatural Regionalでは、出場資格として有効なPro Qualifierが異なりますか？

はい。
Natural Regionalの出場資格はNatural Pro Qualifierに、Open Regionalの出場資格はOpen Pro Qualifierに対応します。
Open RegionalでNatural Pro Qualifierの資格を得ることはできず、その逆も同様です。
Amateur OlympiaはOpen Pro Qualifierとしての大会です。こちらはOpen Regionalの出場資格が必要ですのでご注意下さい。